PAU UIB 2026 Matemáticas II: Examen de Junio Resuelto

En esta entrada encontrarás la resolución completa del examen de Matemáticas II de la PAU UIB 2026 (convocatoria de junio). Todos los ejercicios están resueltos paso a paso y explicados detalladamente para que puedas comprobar resultados y entender el procedimiento seguido en cada apartado.

Parte A (preguntas 1, 2 y 3). Contestad TODAS las preguntas de esta parte.

Problema 1. En un estudio de grabación se han colocado tres micrófonos colgados del techo con cables de distintas longitudes para grabar un concierto acústico.

Considerando un sistema de referencia en el que el origen se encuentra en el suelo de la sala, el techo del estudio se sitúa a una altura de 7 m, tal como se muestra en la figura.

Los micrófonos se colocan en las siguientes posiciones:

* Micrófono 1 (M₁): coordenadas x = 2, y = 3, colgado del techo con un cable de longitud 1 m.

* Micrófono 2 (M₂): coordenadas x = 4, y = 4, colgado del techo con un cable de longitud 2 m.

* Micrófono 3 (M₃): coordenadas x = 5, y = 1, colgado del techo con un cable de longitud 3 m.

Durante el ensayo, un músico se sitúa en el punto P(4,3,0), que representa su posición sobre el escenario.

(a) [1 punto] Determina las coordenadas de los tres micrófonos y calcula la ecuación del plano que los contiene.

Para determinar la altura de cada micrófono, coordenada z, deberemos restar la longitud del cable a la altura del techo. Así $M_1(2,3,6) ,~M_2(4,4,5),~M_3(5,1,4)$ .

Para hallar la ecuación del plano hallamos primero dos vectores contenidos en el plano, por ejemplo

Cualquier vector $\overrightarrow{M_1X} =\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OM_1} =(x,y,z)-(2,3,6)=(x-2,y-3,z-6)$ , siendo $X$ un punto del plano debe ser combinación lineal de $\overrightarrow{M_1M_2}$ y $\overrightarrow{M_1M_3}$. Por tanto el determinante formado por los tres vectores debe ser cero

Solución: $-4x+y-7z+47 = 0$

(b) [1 punto] Sea π el plano que contiene los micrófonos M₁, M₂ y M₃. Con el fin de mejorar la calidad del sonido, se desea colocar un cuarto micrófono M₄ de manera que sea la proyección ortogonal del punto P sobre el plano π. Determina las coordenadas de este cuarto micrófono.

Primero hallaremos la recta r perpendicular al plano π que pasa por P. La intersección de la recta r con el plano π nos proporcionará la proyección de P perpendicular al plano π. La recta r pasa por P y tiene por vector director el normal del plano π $\vec d_r = \vec n_\pi = (-4,1,-7)$

Para hallar la intersección de la recta con el plano, sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano. Al resolver la ecuación obtendremos el parámetro, que al sustituirlo en la recta nos dará la proyección de P sobre π .

Solución: $\left(\frac{200}{33} , \frac{82}{33} , \frac{119}{33}\right)$

Problema 2 [2 puntos] Sea $f(x)=\frac{4x^3}{x^2+1}\ln(x)$. Calcula $\lim_{x\to 0^+} f(x)$.

Solución: 0

Problema 3. Una plataforma de streaming de videojuegos ha analizado los hábitos de sus usuarios durante un año. El estudio muestra que el 40% de los usuarios juegan principalmente a juegos competitivos en línea. De entre estos usuarios competitivos, el 30% participa habitualmente en torneos oficiales. En cambio, entre los usuarios que no juegan principalmente a juegos competitivos, se sabe que el 20% también participa en torneos oficiales.

(a) [0.5 puntos] Si se selecciona aleatoriamente un usuario que no juega principalmente a juegos competitivos, ¿cuál es la probabilidad de que no participe en torneos oficiales?

Hacemos el diagrama de árbol

Designamos por JC los que hacen juegos competitivos y TO los que participan en torneos oficiales. La probabilidad de que no participe en torneos oficiales sabiendo que no juega principalmente a juegos competitivos es

Solución: 0.8

(c) [1.5 puntos] Si se selecciona aleatoriamente un usuario y se sabe que participa en torneos oficiales, ¿qué es más probable, que juegue principalmente a juegos competitivos o que no? (Nota:No aparece apartado b en la hoja original)

Solución: $P(\overline{JC}/TO)= P(JC/TO) =0.5$, igualmente probables

Parte B. Preguntas 4 y 5

Problema 4. Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P4.1 o P4.2)

P4.1 Se pretende estudiar la intensidad de la señal eléctrica registrada por un electrodo implantado en un área de la corteza cerebral. La intensidad de la señal () (en microvoltios) en función del tiempo (t) (en milisegundos) después de un estímulo viene dada por la función $I(t) =50te^{-0.2t}, \qquad t\ge 0$.

(a) [1 punto] Calcula en qué instante de tiempo la intensidad de la señal es máxima y cuál es dicha intensidad.

Hallamos la derivada de la función e igualamos a cero para hallar los posibles máximo y mínimos relativos

En $t=5 ~ms$ la intensidad alcanza un máximo de $\frac{250}{e} ~\mu V$

Solución: I máxima de $\frac{250}{e} ~\mu V$ en $t=5 ~ms$

(b) [1 punto] Calcula una primitiva de la función $I(t)$, es decir, determina $\int I(t)~dt$ .

Empleamos el método por partes $\begin{cases} t= u \rightarrow dt = du \\ dv= e^{-0.2 t} dt \rightarrow v = \int e^{-0.2 t} dt = -5 e^{-0.2 t} \end{cases} ~ \rightarrow$

Solución: $\int 50t ~e^{-0.2 t } ~dt = -250 t ~e^{-0.2 t} -1250 ~e^{-0.2 t} + C$

P4.2. La desviación vertical de un dron, $y(t)$ (en metros), respecto de una altura de referencia tras una perturbación inicial, se describe a lo largo del tiempo t (en segundos) como

$y(t)=\frac{t^3+t^2+2t-1}{t^4+2},\qquad t\ge 0$.

donde los valores positivos de $y(t)$ indican que el dron se encuentra por encima de la altura de referencia, mientras que los valores negativos indican que se encuentra por debajo de esta.

Demuestra que existe al menos un instante de tiempo $t$ en el que el dron se encuentra exactamente a la altura de referencia.

$y(t)$es una función racional, numerador y denominador son funciones polinómicas continuas, en la que el denominador no se anula para ningún valor de $t$. Por tanto $y(t)$ es una función continua. Además $y(0)= – \frac{1}{2} <0$ e $y(1) = 1>0$, por tanto según el teorema de Bolzano existe al menos 1 $c\in (0,1)$ tal que $y(c)=0$ es decir ha alcanzado la altura de referencia.

Problema 5. Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P5.1 o P5.2)

P5.1. Sean $A$ y $B$ dos matrices 3 x 3 tales que $A$ es invertible y $AB+A+I=2A$, con $I$ la matriz identidad de dimensión 3 x 3.

(a) [1 punto] Calcula la inversa de $A$ en función de $I$ y $B$.

Solución:$A^{-1}= I-B$

(b) [1 punto] Sean $B= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $b= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$, calcula $x$ tal que $Ax=b$, donde $A$ cumple la igualdad del enunciado.

Calculamos $A^{-1}$

Solución: $x= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ -3 \end{array} \right)$

P5.2 [2 puntos] En un estudio de mezclas químicas, se preparan tres componentes químicos utilizando tres sustancias diferentes. Las cantidades (en litros) de cada sustancia utilizada son $x$, $y$ y $z$. Las condiciones experimentales imponen las siguientes relaciones: $\definecolor{miazul}{RGB}{0,0,153} \begin{cases} x+y+z=3,\\ 2x+y+z=4,\\ x+y+mz=3, \end{cases}$

donde ($m \ge 0$ ) es un parámetro real que depende de la concentración de un catalizador.

Discute, según los valores del parámetro ($m$), si se pueden determinar o no las cantidades de cada sustancia.

Analizamos el rango de la matriz de los coeficiente $A$ y la matriz ampliada $A^+$. Para ello empezamos calculando el determinante de $A$.

Si $m \ne 1 ~\Rightarrow~\left\lvert A \right\rvert \ne 0 ~\Rightarrow Rang(A) = 3 =Rang (A^+)$ por tanto el sistema será compatible determinado y la solución será única.

Si $m=1 ~\Rightarrow~A^+ = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 &3 \end{array} \right)$las filas 1 y 3 son iguales.$\left\lvert \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 &1 \end{array} \right\rvert \ne 0 ~\Rightarrow Rang(A)=Rang(A^+) =2$ y el sistema será compatible pero indeterminado y no podremos determinar la cantidad de cada sustancia.

Solución: Sólo pueden determinarse si $m \ne 1$