La ecuación de una elipse vienen dada por

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1~~(1)

o en coordenadas polares

\begin{cases} x=a\cdot\cos\theta\\y=b\cdot\sin\theta \end{cases}   (2)

siendo a y b los semiejes mayor y menor respectivamente, c la semidistancia focal y la excentricidad de la elipse definida como e = c/a.

 



El perímetro de la elipse lo calculamos a partir de la integral

P=\int dl   ~~ (3)

El diferencial de longitud de arco para una curva dada en coordenadas polares es

dl=\sqrt {dx^2+dy^2}= \sqrt { \left ( \frac {dx}{d\theta} \right)^2+ \left ( \frac {dy}{d\theta} \right)^2} d\theta    ~~(4)

diferencial de longitud

A partir de las ecuaciones polares de la elipse (2) tenemos

\begin{cases} \frac {dx}{d\theta} = -a \cdot \sin\theta\\ \frac{dy}{d\theta}=b \cdot \cos\theta \end{cases} \Rightarrow dl = \sqrt {a^2 \cdot \sin^2\theta +b^2 \cdot \cos^2 \theta } ~ d\theta= \sqrt {a^2 \cdot (1- \cos^2\theta) +b^2 \cdot \cos^2 \theta } ~ d\theta=

= \sqrt {a^2 + (b^2-a^2) \cdot \cos^2 \theta } ~ d\theta= \sqrt {a^2 + c^2 \cdot \cos^2 \theta } ~ d\theta = a \sqrt{1-\left(\frac{c}{a} \right)^2\cos^2 \theta} ~d\theta = 

=\sqrt{1-e^2\cos^2 \theta} ~d\theta ~~(5)

Sustituyendo (5) en (3) y aprovechando la simetría del problema tenemos

P= a \int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-e^2\cos^2 \theta} ~d\theta = 4 a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\cos^2 \theta} ~d\theta ~~(6)

Dado que \cos\theta=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) y haciendo el cambio de variable \phi=\frac{\pi}{2}-\theta , la integral (6) queda

P= 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2 \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) } ~d\theta = 4 a \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{1-e^2\sin^2\phi} ~(-d\phi)= 4 a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2 \phi} ~d\phi\ =

=4a\cdot E(e^2)~~(7)

Esta integral (7) se denomina integral elíptica completa de segunda especie, E(e^2) y no puede calcularse utilizando funciones elementales.

Por el teorema del binomio sabemos que

(1-x)^k=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!} x^2-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!} x^3 +.... \\  \\si~\left| x \right| <1 \Rightarrow (1-x)^k=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!} x^2-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!} x^3 +\dots \\

si~k=\frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{1-x}=1-\frac{1}{2} x-\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{2} x^2-\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}}{2\cdot 3} x^3-...= \\ \\=1-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2^3} x^2-\frac{1 \cdot 3}{2^4 \cdot 3} x^3-...= 1 - \frac{x}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} x^n ~~(8)

en nuestro caso x=e\sin \phi  = e\cos\theta y dado que e<1 ;\left| \sin \phi \right|;\left| \cos\theta \right| < =1~\Rightarrow~ \left| e\sin \phi \right| <1 y \left| e \cos\theta \right| <1  . Por tanto

\sqrt{1-e^2 \cos^2 ~\theta}=1 - \frac{e^2 \cos^2 ~\theta}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{ 1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \cos^{2n} ~\theta

\sqrt{1-e^2 \sin^2 ~\phi}=1 - \frac{e^2 \sin^2 ~\phi}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac {1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \sin^{2n} ~\phi

Sustituyendo las expresiones anteriores en las integrales 6 y 7, para el perímetro de la elipse, quedan

P=4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  \sqrt{1-e^2 \cos^2 ~\theta} ~d\theta =4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ 1 - \frac{e^2 \cos^2 ~\theta}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \cos^{2n} ~\theta \right] ~d\theta

=4a \left [ \theta \left |\right | _{0}^{\frac{\pi}{2}}- \frac{e^2}{2} \left ( \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right ) \left |\right | _{0}^{\frac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \cos^{2n} ~\theta ~d\theta \right ] =

=4a \left[ \frac{\pi}{2}- \frac{e^2}{2} \frac{\pi}{4}- \sum_{n=2}^{\infty} \frac{ 1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n} ~\theta ~d\theta \right]~~(9)

 

P=4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  \sqrt{1-e^2 \sin^2 ~\phi} ~d\phi =4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ 1 - \frac{e^2 \cos^2 ~\phi}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \sin^{2n} ~\phi \right] ~d\phi

=4a \left [ \phi \left |\right | _{0}^{\frac{\pi}{2}}- \frac{e^2}{2} \left ( \frac{\phi}{2} - \frac{\sin 2\phi}{4} \right ) \left |\right | _{0}^{\frac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \sin^{2n} ~\phi ~d\phi \right ] =

=4a \left[ \frac{\pi}{2}- \frac{e^2}{2} \frac{\pi}{4}- \sum_{n=2}^{\infty} \frac{ 1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} ~\phi ~d\phi \right]~~(10)

Empezamos con (9). Sea I_p=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos^{p}\theta~d\theta=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos^{p-1}\theta \cdot\cos\theta~d\theta . Empleando el método por partes para integrar la función anterior

\begin{cases} u= \cos^{p-1}\theta~\Rightarrow~du=-(p-1)\cos^{p-2}\theta\cdot\sin\theta~ d\theta \\ dv=\cos\theta ~ d\theta~\Rightarrow~v=\sin\theta~~ \end{cases} \Rightarrow~

I_p= \sin\theta\cdot\cos^{p-1}\theta \left|\right|_{0}^\frac{\pi}{2}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (p-1)\cos^{p-2}\theta\cdot\sin^2\theta~d\theta = 

=(p-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{p-2}\theta(1-\cos^2\theta)~d\theta =  

= (p-1) \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{p-2}\theta~d\theta- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^p\theta~d\theta\right] = (p-1) \left[I_{p-2}-I_p \right]

I_p=(p-1)\cdot I_{p-2}-(p-1)\cdot I_p~\Rightarrow~p\cdot I_p=(p-1)\cdot I_{p-2}~\Rightarrow~

I_p=\frac{p-1}{p}\cdot I_{p-2}= \frac{p-1}{p}\cdot \frac{p-3}{p-2}\cdot I_{p-4}= \dots =   \begin{cases} \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 3\cdot 1}{p (p-2)(p-4) \dots 4\cdot 2}\cdot I_0~si~p~par~~\\~\\ \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 4\cdot 2}{p (p-2)(p-4) \dots 3\cdot 1} \cdot I_1~si~p~impar \end{cases}

y como

\begin{cases} I_0=\int_{0}^\frac{\pi}{2} d\theta=\frac{\pi}{2} \\ \\ I_1=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos\theta =1 \end{cases} \Rightarrow I_p =  \begin{cases} \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 1}{p (p-2)(p-4) \dots 2}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac {(p-1)!!}{p!!}\cdot \frac{\pi}{2}~si~p~par \\ \\ \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 2}{p (p-2)(p-4) \dots 1}= \frac {(p-1)!!}{p!!} ~si~p~impar \end{cases}

y en nuestro caso como p = 2n es par resulta

P =4a \left[ {\frac{\pi}{2}}- \frac{e^2}{2} \frac{\pi}{4}- \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n}\frac{(2n-1)!!}{2n!!}\cdot\frac{\pi}{2} \right]~~(11)

Como

\frac {(2n-1)!!}{2n!!}= \frac {(2n-1)(2n-3)(2n-5) \dots 1}{2n (2n-2)(2n-4) \dots 2} = \frac {(2n-1)(2n-3)(2n-5) \dots 1}{2n \cdot 2(n-1) \cdot 2(n-2) \dots 2} = \frac {(2n-1)(2n-3)(2n-5) \dots 1}{2^n \cdot n! } =

=\frac {2n (2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)(2n-5) \dots 1}{2n (2n-2)(2n-4) \dots 2 \cdot 2^n \cdot n! } = \frac {2n!} {\left(2^n\cdot n! \right )^2} ~~(12)

(11) queda

P =4a \left[ {\frac{\pi}{2}}- \frac{e^2}{2} \frac{\pi}{4}- \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \frac{2n!}{\left(2^n \cdot n! \right)^2}\cdot\frac{\pi}{2} \right] =2 \pi a \left[ 1- \frac{e^2}{4} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \frac{2n!}{\left(2^n \cdot n! \right)^2} \right] ~~(13)

Ahora vamos a por (10) y procedemos de forma análoga. Sea I_p=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \sin^{p}\theta~d\theta=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \sin^{p-1}\phi \cdot\sin\phi~d\theta . Empleando el método por partes para integrar la función anterior

\begin{cases} u= \sin^{p-1}\phi~\Rightarrow~du=(p-1)\sin^{p-2}\phi\cdot\cos\phi~ d\phi \\ dv=\sin\phi ~ d\phi~\Rightarrow~v=-\cos\phi~~ \end{cases} \Rightarrow~

I_p= -\cos\phi\cdot\sin^{p-1}\phi \left|\right|_{0}^\frac{\pi}{2}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (p-1)\sin^{p-2}\phi\cdot\cos^2\phi~d\phi = 

=(p-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{p-2}\phi(1-\sin^2\phi)~d\phi =  

= (p-1) \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{p-2}\phi~d\phi- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^p\phi~d\phi\right] = (p-1) \left[I_{p-2}-I_p \right]

I_p=(p-1)\cdot I_{p-2}-(p-1)\cdot I_p~\Rightarrow~p\cdot I_p=(p-1)\cdot I_{p-2}~\Rightarrow~

I_p=\frac{p-1}{p}\cdot I_{p-2}= \frac{p-1}{p}\cdot \frac{p-3}{p-2}\cdot I_{p-4}= \dots =   \begin{cases} \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 3\cdot 1}{p (p-2)(p-4) \dots 4\cdot 2}\cdot I_0~si~p~par~~\\~\\ \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 4\cdot 2}{p (p-2)(p-4) \dots 3\cdot 1} \cdot I_1~si~p~impar \end{cases}

y como

\begin{cases} I_0=\int_{0}^\frac{\pi}{2} d\phi=\frac{\pi}{2} \\ \\ I_1=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \sin\phi =1 \end{cases} \Rightarrow I_p =  \begin{cases} \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 1}{p (p-2)(p-4) \dots 2}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac {(p-1)!!}{p!!}\cdot \frac{\pi}{2}~si~p~par \\ \\ \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 2}{p (p-2)(p-4) \dots 1}= \frac {(p-1)!!}{p!!} ~si~p~impar \end{cases}

Teniendo en cuenta (12) y como p= 2n es par resulta que (10) queda

P =4a \left[ {\frac{\pi}{2}}- \frac{e^2}{2} \frac{\pi}{4}- \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \frac{2n!}{\left(2^n \cdot n! \right)^2}\cdot\frac{\pi}{2} \right] =2 \pi a \left[ 1- \frac{e^2}{4} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \frac{2n!}{\left(2^n \cdot n! \right)^2} \right] ~~(14)

resultando la misma expresión que la obtenida en (13). Estas expresiones se conocen como desarrollo en serie de Maclaurin.

La suma de los infinitos términos de la serie de potencias (13) y (14) nos devolvería el valor exacto del perímetro del elipse.Podemos obtener otra expresión para el perímetro de la elipse a partir de la función hipergeométrica. La función hipergeométrica es una solución de la ecuación diferencial

x(1-x) y''(x)+\left[c-(a+b+1)x\right]y'(x)-aby(x)=0

y(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(a+1)\dots(a+n-1)b(b+1)\dots(b+n-1)}{n!c(c+1)\dots(c+n-1)}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n (b)_n)}{(c)_n)}\frac{x^n}{n!}=_2F_1(a,b,c;x)

donde (a)_n=a(a+1)(a+2)\dots(a+n-1)=\frac{(a+n-1)!}{(a-1)!} .

En nuestro caso

E(e^2)=\frac{\pi}{2}\cdot _2F_1\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1;e^2\right)~~\Rightarrow~~ P= 4 a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2 \phi} ~d\phi =4a\cdot E(e^2) =

=4a\cdot\frac{\pi}{2} \cdot _2F_1 \left(\frac {1}{2},-\frac {1}{2},1;e^2 \right ) =2{\pi}a \cdot _2F_1 \left(-\frac {1}{2},\frac {1}{2},1;e^2 \right ) ~~(15)

cuya expresión es la que obtenemos en (13) y (14).

La siguiente propiedad de la función hipergeométrica

F \left ( \alpha,\beta;2\beta;\frac{z}{(1+z)^2} \right)= (1+z)^{2\alpha} F \left (\alpha,\alpha-\beta+\frac{1}{2};\beta+\frac{1}{2};z^2 \right)

con \alpha=\frac{1}{2}, \beta=\frac{1}{2} y e^2=\frac{4z}{(1+z)^2} ~\Rightarrow~\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{4z}{(1+z)^2}~\Rightarrow~z=\frac{a-b}{a+b} nos permite reescribir el perímetro de la elipse

P= 2{\pi}a \cdot _2F_1 \left(\frac {1}{2},-\frac {1}{2};1;e^2 \right ) = 2{\pi}a \cdot\frac{a+b}{2a}\cdot _2F_1 \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1;\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\right) =

={\pi} {(a+b})\cdot _2F_1 \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1;\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\right)  = {\pi} {(a+b})\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac {\left(-\frac{1}{2}\right)_n \left(-\frac{1}{2}\right)_n}{(1)_n n!} \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{2n}=

= {\pi} {(a+b})\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac {\left(-\frac{1}{2}\right)_n \left(-\frac{1}{2}\right)_n}{n!^2} \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{2n} =

= {\pi} {(a+b})\cdot \left (1+\left ( \frac{1}{2} \right )^2 \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{2}+ \left ( \frac{1}{2 \cdot 4} \right )^2 \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{4}+ \left ( \frac{1\cdot3}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right )^2 \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{6}+ \dots \right ) ~~(16)

La expresión obtenida se conoce como de Gauss-Kummer.

Las expresiones 13 (function macl(a,b)) y 16 (function gausskum(a,b)) pueden incorporarse fácilmente como funciones definidas en una hoja de cálculo como LibreOffice Calc a través del LibreOffice Basic, con el siguiente código.

function macl(a,b)
e2=1-(b/a)^2
El=1
n=1
d=2
r=(n/d)^2*e2
do
El=El-r
r1=r
n=n+2
d=d+2
r=r1*(n/d)^2*e2*(n-2)/n
loop while r1<>r
macl=2*PI()*a*El
End function

function gausskum(a,b)
h=(a-b)/(a+b)
t=0.5*h
p=1+t*t
u=1
do
t=t*u/(u+3)*h
p1=p
p=p+t*t
u=u+2
loop while p1<>p
gausskum=PI()*(a+b)*p
End function

Se van sumando términos de la serie hasta alcanzar la precisión máxima. El límite viene impuesto por el sistema de coma flotante de doble precisión, 15 cifras decimales si la parte entera es cero y 14 en caso contrario.

Es interesante ver el número de términos sumados hasta alcanzar la precisión máxima, lo cual dependerá de los valores de a y b. La siguiente tabla resume los resultados y se observan diferencias en el perímetro para valores de b <0.10.

a

b

Gauss-Kummer

Maclaurin

Perímetro

Términos sumados

Perímetro

Términos sumados

1

0.99

6.25180884795037

3

6.25180884795037

7

1

0.90

5.97316043252483

6

5.97316043252483

16

1

0.60

5.10539977267963

10

5.10539977267963

60

1

0.10

4.06397418010090

56

4.06397418010092

2025

1

0.01

4.00109832972265

405

4.00109832972471

121723

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PAU UIB junio 2018 Física Opción B
Perímetro de una elipse
Perímetro de una elipse
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