La ecuación de una elipse viene dada por
o en coordenadas polares
siendo a y b los semiejes mayor y menor respectivamente, c la semidistancia focal y la excentricidad de la elipse definida como e = c/a.



El perímetro de la elipse lo calculamos a partir de la integral
El diferencial de longitud de arco para una curva dada en coordenadas polares es
A partir de las ecuaciones polares de la elipse (2) tenemos
Sustituyendo (5) en (3) y aprovechando la simetría del problema tenemos
Dado que y haciendo el cambio de variable
, la integral (6) queda
Esta integral (7) se denomina integral elíptica completa de segunda especie, y no puede calcularse utilizando funciones elementales.
Por el teorema del binomio sabemos que
en nuestro caso y dado que
y
. Por tanto
Sustituyendo las expresiones anteriores en las integrales 6 y 7, para el perímetro de la elipse, quedan
Empezamos con (9). Sea . Empleando el método por partes para integrar la función anterior
y como
y en nuestro caso como p = 2n es par resulta
Como
(11) queda
Ahora vamos a por (10) y procedemos de forma análoga. Sea . Empleando el método por partes para integrar la función anterior
y como
Teniendo en cuenta (12) y como p= 2n es par resulta que (10) queda
resultando la misma expresión que la obtenida en (13). Estas expresiones se conocen como desarrollo en serie de Maclaurin.
La suma de los infinitos términos de la serie de potencias (13) y (14) nos devolvería el valor exacto del perímetro del elipse.Podemos obtener otra expresión para el perímetro de la elipse a partir de la función hipergeométrica. La función hipergeométrica es una solución de la ecuación diferencial
donde .
En nuestro caso
cuya expresión es la que obtenemos en (13) y (14).
La siguiente propiedad de la función hipergeométrica
con y
nos permite reescribir el perímetro de la elipse
La expresión obtenida se conoce como de Gauss-Kummer.
Las expresiones 13 (function macl(a,b)) y 16 (function gausskum(a,b)) pueden incorporarse fácilmente como funciones definidas en una hoja de cálculo como LibreOffice Calc a través del LibreOffice Basic, con el siguiente código.
function macl(a,b)
e2=1-(b/a)^2
El=1
n=1
d=2
r=(n/d)^2*e2
do
El=El-r
r1=r
n=n+2
d=d+2
r=r1*(n/d)^2*e2*(n-2)/n
loop while r1<>r
macl=2*PI()*a*El
End function
function gausskum(a,b)
h=(a-b)/(a+b)
t=0.5*h
p=1+t*t
u=1
do
t=t*u/(u+3)*h
p1=p
p=p+t*t
u=u+2
loop while p1<>p
gausskum=PI()*(a+b)*p
End function
Se van sumando términos de la serie hasta alcanzar la precisión máxima. El límite viene impuesto por el sistema de coma flotante de doble precisión, 15 cifras decimales si la parte entera es cero y 14 en caso contrario.
Es interesante ver el número de términos sumados hasta alcanzar la precisión máxima, lo cual dependerá de los valores de a y b. La siguiente tabla resume los resultados y se observan diferencias en el perímetro para valores de b <0.10.
a | b | Gauss-Kummer | Maclaurin | ||
Perímetro | Términos sumados | Perímetro | Términos sumados | ||
1 | 0.99 | 6.25180884795037 | 3 | 6.25180884795037 | 7 |
1 | 0.90 | 5.97316043252483 | 6 | 5.97316043252483 | 16 |
1 | 0.60 | 5.10539977267963 | 10 | 5.10539977267963 | 60 |
1 | 0.10 | 4.06397418010090 | 56 | 4.06397418010092 | 2025 |
1 | 0.01 | 4.00109832972265 | 405 | 4.00109832972471 | 121723 |
Es un trabajo excelente. Felicito al autor y a quien ha hecho posible su difusión.
Nos alegramos de que te haya gustado y si te ha sido útil mucho mejor
Saludos, Muy buen trabajo, Me gusto muchisimo, La ecuacion (16) es perfecta para calcular la longitud del arco entre 0 y Pi/2, . . Ahora, me permito preguntarles: Que pasa si lo que deseo es calcular la longitud de un arco entre dos angulo dados?, es decir una seccion de arco advitraria, por ejemplo entre los angulos Tita1 y Tita2, . . . Me imagino que habria que replantearlo todo desde la ecuacion (6) e integrar desde Tita1 hasta Tita 2, (en vez de 0 a Pi/2). Es posible que ustedes publiquen una extension de este trabajo con la solucion que les he planteado en este mensaje. Quedo atento a su respuesta, De antemano, Gracias por su atencion, su tiempo, su esfuerzo y su pronta respuesta,
Atte, Fernando Angulo,
Gracias Fernando. Nos alegramos de que le haya gustado. La repuesta a su pregunta tendrá que esperar un poco, por lo menos hasta que contemos con un rato de tiempo seguido. Efectivamente habría que partir de (6). Le animo a que lo haga usted mientras. Un saludo.
Excelente trabajo. Podrían afirmar ustedes que las dos primeras cifras decimales son exactas?. De cada uno de los problemas. Gracias de antemano por su respuesta.
Ejemplo :. En el último problema, a mi me da en lugar de 1 en las milésimas , me da 6.
Hola José. Si te interesa puedes mirar aquí y comparar un poco los resultados con la información que te da esta página y calcular algunos valores de la integral elíptica completa de segunda especie con la función EllipticE(c^2/a^2). He probado con a = 1 y b =0.01 y aquí tienes la foto del resultado. Me alegro que te haya gustado, un saludo.
Excelente trabajo el que has expuesto.
Me gustaría comentar que, salvo error por mi parte, la ecuación 8 donde se utiliza el teorema del binomio, éste se podría generalizar de una forma más adecuada utilizando el doble factorial para (2k-3). Como (2k-3) es impar entonces:
(2k-3)!!=(2k-2)!/(k-1)! * 2^(k-1)
Gracias por tu comentario Rafael.Sí, tienes razón, pero esto ya queda a gusto de cada uno y como le resulte más cómodo trabajar.