Perímetro de una elipse

La ecuación de una elipse viene dada por

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1~~(1)$

o en coordenadas polares

$\begin{cases} x=a\cdot\cos\theta\\y=b\cdot\sin\theta \end{cases} (2)$

siendo a y b los semiejes mayor y menor respectivamente, c la semidistancia focal y la excentricidad de la elipse definida como e = c/a.

El perímetro de la elipse lo calculamos a partir de la integral

$P=\int dl ~~ (3)$

El diferencial de longitud de arco para una curva dada en coordenadas polares es

$dl=\sqrt {dx^2+dy^2}= \sqrt { \left ( \frac {dx}{d\theta} \right)^2+ \left ( \frac {dy}{d\theta} \right)^2} d\theta ~~(4)$

diferencial de longitud

A partir de las ecuaciones polares de la elipse (2) tenemos

$\begin{cases} \frac {dx}{d\theta} = -a \cdot \sin\theta\\ \frac{dy}{d\theta}=b \cdot \cos\theta \end{cases} \Rightarrow dl = \sqrt {a^2 \cdot \sin^2\theta +b^2 \cdot \cos^2 \theta } ~ d\theta= \sqrt {a^2 \cdot (1- \cos^2\theta) +b^2 \cdot \cos^2 \theta } ~ d\theta=$

$= \sqrt {a^2 + (b^2-a^2) \cdot \cos^2 \theta } ~ d\theta= \sqrt {a^2 - c^2 \cdot \cos^2 \theta } ~ d\theta = a \sqrt{1-\left(\frac{c}{a} \right)^2\cos^2 \theta} ~d\theta =$

$=a \sqrt{1-e^2\cos^2 \theta} ~d\theta ~~(5)$

Sustituyendo (5) en (3) y aprovechando la simetría del problema tenemos

$P= a \int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-e^2\cos^2 \theta} ~d\theta = 4 a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\cos^2 \theta} ~d\theta ~~(6)$

Dado que $\cos\theta=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$ y haciendo el cambio de variable $\phi=\frac{\pi}{2}-\theta$ , la integral (6) queda

$P= 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2 \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) } ~d\theta = 4 a \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{1-e^2\sin^2\phi} ~(-d\phi)= 4 a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2 \phi} ~d\phi\ =$

$=4a\cdot E(e^2)~~(7)$

Esta integral (7) se denomina integral elíptica completa de segunda especie, $E(e^2)$ y no puede calcularse utilizando funciones elementales.

Por el teorema del binomio sabemos que

$(1-x)^k=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!} x^2-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!} x^3 +.... \\ \\si~\left| x \right| <1 \Rightarrow (1-x)^k=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!} x^2-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!} x^3 +\dots \\$

$si~k=\frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{1-x}=1-\frac{1}{2} x-\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{2} x^2-\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}}{2\cdot 3} x^3-...= \\ \\=1-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2^3} x^2-\frac{1 \cdot 3}{2^4 \cdot 3} x^3-...= 1 - \frac{x}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} x^n ~~(8)$

$\sqrt{1-e^2 \cos^2 ~\theta}=1 - \frac{e^2 \cos^2 ~\theta}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{ 1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \cos^{2n} ~\theta$

$\sqrt{1-e^2 \sin^2 ~\phi}=1 - \frac{e^2 \sin^2 ~\phi}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac {1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \sin^{2n} ~\phi$

Sustituyendo las expresiones anteriores en las integrales 6 y 7, para el perímetro de la elipse, quedan

$P=4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-e^2 \cos^2 ~\theta} ~d\theta =4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ 1 - \frac{e^2 \cos^2 ~\theta}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \cos^{2n} ~\theta \right] ~d\theta$

$=4a \left [ \theta \left |\right | _{0}^{\frac{\pi}{2}}- \frac{e^2}{2} \left ( \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right ) \left |\right | _{0}^{\frac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \cos^{2n} ~\theta ~d\theta \right ] =$

$=4a \left[ \frac{\pi}{2}- \frac{e^2}{2} \frac{\pi}{4}- \sum_{n=2}^{\infty} \frac{ 1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n} ~\theta ~d\theta \right]~~(9)$

$P=4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-e^2 \sin^2 ~\phi} ~d\phi =4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ 1 - \frac{e^2 \cos^2 ~\phi}{2}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \sin^{2n} ~\phi \right] ~d\phi$

$=4a \left [ \phi \left |\right | _{0}^{\frac{\pi}{2}}- \frac{e^2}{2} \left ( \frac{\phi}{2} - \frac{\sin 2\phi}{4} \right ) \left |\right | _{0}^{\frac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \sin^{2n} ~\phi ~d\phi \right ] =$

$=4a \left[ \frac{\pi}{2}- \frac{e^2}{2} \frac{\pi}{4}- \sum_{n=2}^{\infty} \frac{ 1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} ~\phi ~d\phi \right]~~(10)$

Empezamos con (9). Sea $I_p=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos^{p}\theta~d\theta=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos^{p-1}\theta \cdot\cos\theta~d\theta$ . Empleando el método por partes para integrar la función anterior

$\begin{cases} u= \cos^{p-1}\theta~\Rightarrow~du=-(p-1)\cos^{p-2}\theta\cdot\sin\theta~ d\theta \\ dv=\cos\theta ~ d\theta~\Rightarrow~v=\sin\theta~~ \end{cases} \Rightarrow~$

$I_p= \sin\theta\cdot\cos^{p-1}\theta \left|\right|_{0}^\frac{\pi}{2}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (p-1)\cos^{p-2}\theta\cdot\sin^2\theta~d\theta =$

$=(p-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{p-2}\theta(1-\cos^2\theta)~d\theta =$

$= (p-1) \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{p-2}\theta~d\theta- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^p\theta~d\theta\right] = (p-1) \left[I_{p-2}-I_p \right]$

$I_p=(p-1)\cdot I_{p-2}-(p-1)\cdot I_p~\Rightarrow~p\cdot I_p=(p-1)\cdot I_{p-2}~\Rightarrow~$

$I_p=\frac{p-1}{p}\cdot I_{p-2}= \frac{p-1}{p}\cdot \frac{p-3}{p-2}\cdot I_{p-4}= \dots = \begin{cases} \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 3\cdot 1}{p (p-2)(p-4) \dots 4\cdot 2}\cdot I_0~si~p~par~~\\~\\ \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 4\cdot 2}{p (p-2)(p-4) \dots 3\cdot 1} \cdot I_1~si~p~impar \end{cases}$

y como

$\begin{cases} I_0=\int_{0}^\frac{\pi}{2} d\theta=\frac{\pi}{2} \\ \\ I_1=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos\theta =1 \end{cases}$ $\Rightarrow I_p = \begin{cases} \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 1}{p (p-2)(p-4) \dots 2}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac {(p-1)!!}{p!!}\cdot \frac{\pi}{2}~si~p~par \\ \\ \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 2}{p (p-2)(p-4) \dots 1}= \frac {(p-1)!!}{p!!} ~si~p~impar \end{cases}$

y en nuestro caso como p = 2n es par resulta

$P =4a \left[ {\frac{\pi}{2}}- \frac{e^2}{2} \frac{\pi}{4}- \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n}\frac{(2n-1)!!}{2n!!}\cdot\frac{\pi}{2} \right]~~(11)$

Como

$\frac {(2n-1)!!}{2n!!}= \frac {(2n-1)(2n-3)(2n-5) \dots 1}{2n (2n-2)(2n-4) \dots 2} = \frac {(2n-1)(2n-3)(2n-5) \dots 1}{2n \cdot 2(n-1) \cdot 2(n-2) \dots 2} = \frac {(2n-1)(2n-3)(2n-5) \dots 1}{2^n \cdot n! } =$

$=\frac {2n (2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)(2n-5) \dots 1}{2n (2n-2)(2n-4) \dots 2 \cdot 2^n \cdot n! } = \frac {2n!} {\left(2^n\cdot n! \right )^2} ~~(12)$

(11) queda

$P =4a \left[ {\frac{\pi}{2}}- \frac{e^2}{2} \frac{\pi}{4}- \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \frac{2n!}{\left(2^n \cdot n! \right)^2}\cdot\frac{\pi}{2} \right] =2 \pi a \left[ 1- \frac{e^2}{4} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdot ... (2n-3)}{2^n \cdot n!} e^{2n} \frac{2n!}{\left(2^n \cdot n! \right)^2} \right] ~~(13)$

Ahora vamos a por (10) y procedemos de forma análoga. Sea $I_p=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \sin^{p}\theta~d\theta=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \sin^{p-1}\phi \cdot\sin\phi~d\theta$ . Empleando el método por partes para integrar la función anterior

$\begin{cases} u= \sin^{p-1}\phi~\Rightarrow~du=(p-1)\sin^{p-2}\phi\cdot\cos\phi~ d\phi \\ dv=\sin\phi ~ d\phi~\Rightarrow~v=-\cos\phi~~ \end{cases} \Rightarrow~$

$I_p= -\cos\phi\cdot\sin^{p-1}\phi \left|\right|_{0}^\frac{\pi}{2}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (p-1)\sin^{p-2}\phi\cdot\cos^2\phi~d\phi =$

$=(p-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{p-2}\phi(1-\sin^2\phi)~d\phi =$

$= (p-1) \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{p-2}\phi~d\phi- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^p\phi~d\phi\right] = (p-1) \left[I_{p-2}-I_p \right]$

$I_p=(p-1)\cdot I_{p-2}-(p-1)\cdot I_p~\Rightarrow~p\cdot I_p=(p-1)\cdot I_{p-2}~\Rightarrow~$

y como

$\begin{cases} I_0=\int_{0}^\frac{\pi}{2} d\phi=\frac{\pi}{2} \\ \\ I_1=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \sin\phi =1 \end{cases}$ $\Rightarrow I_p = \begin{cases} \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 1}{p (p-2)(p-4) \dots 2}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac {(p-1)!!}{p!!}\cdot \frac{\pi}{2}~si~p~par \\ \\ \frac {(p-1)(p-3)(p-5) \dots 2}{p (p-2)(p-4) \dots 1}= \frac {(p-1)!!}{p!!} ~si~p~impar \end{cases}$

Teniendo en cuenta (12) y como p= 2n es par resulta que (10) queda

resultando la misma expresión que la obtenida en (13). Estas expresiones se conocen como desarrollo en serie de Maclaurin.

La suma de los infinitos términos de la serie de potencias (13) y (14) nos devolvería el valor exacto del perímetro del elipse.Podemos obtener otra expresión para el perímetro de la elipse a partir de la función hipergeométrica. La función hipergeométrica es una solución de la ecuación diferencial

$x(1-x) y''(x)+\left[c-(a+b+1)x\right]y'(x)-aby(x)=0$

$y(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(a+1)\dots(a+n-1)b(b+1)\dots(b+n-1)}{n!c(c+1)\dots(c+n-1)}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n (b)_n)}{(c)_n)}\frac{x^n}{n!}=_2F_1(a,b,c;x)$

donde $(a)_n=a(a+1)(a+2)\dots(a+n-1)=\frac{(a+n-1)!}{(a-1)!}$ .

En nuestro caso

$E(e^2)=\frac{\pi}{2}\cdot _2F_1\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1;e^2\right)~~\Rightarrow~~ P= 4 a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2 \phi} ~d\phi =4a\cdot E(e^2) =$

$=4a\cdot\frac{\pi}{2} \cdot _2F_1 \left(\frac {1}{2},-\frac {1}{2},1;e^2 \right ) =2{\pi}a \cdot _2F_1 \left(-\frac {1}{2},\frac {1}{2},1;e^2 \right ) ~~(15)$

cuya expresión es la que obtenemos en (13) y (14).

La siguiente propiedad de la función hipergeométrica

$F \left ( \alpha,\beta;2\beta;\frac{4z}{(1+z)^2} \right)= (1+z)^{2\alpha} F \left (\alpha,\alpha-\beta+\frac{1}{2};\beta+\frac{1}{2};z^2 \right)$

con $\alpha=-\frac{1}{2}, \beta=\frac{1}{2}$ y $e^2=\frac{4z}{(1+z)^2} ~\Rightarrow~\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{4z}{(1+z)^2}~\Rightarrow~z=\frac{a-b}{a+b}$ nos permite reescribir el perímetro de la elipse

$P= 2{\pi}a \cdot _2F_1 \left(-\frac {1}{2},\frac {1}{2};1;e^2 \right ) = 2{\pi}a \cdot\frac{a+b}{2a}\cdot _2F_1 \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1;\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\right) =$

$={\pi} {(a+b})\cdot _2F_1 \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1;\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\right) = {\pi} {(a+b})\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac {\left(-\frac{1}{2}\right)_n \left(-\frac{1}{2}\right)_n}{(1)_n n!} \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{2n}=$

$= {\pi} {(a+b})\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac {\left(-\frac{1}{2}\right)_n \left(-\frac{1}{2}\right)_n}{n!^2} \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{2n} =$

$= {\pi} {(a+b})\cdot \left (1+\left ( \frac{1}{2} \right )^2 \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{2}+ \left ( \frac{1}{2 \cdot 4} \right )^2 \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{4}+ \left ( \frac{1\cdot3}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right )^2 \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{6}+ \dots \right ) ~~(16)$

La expresión obtenida se conoce como de Gauss-Kummer.

Las expresiones 13 (function macl(a,b)) y 16 (function gausskum(a,b)) pueden incorporarse fácilmente como funciones definidas en una hoja de cálculo como LibreOffice Calc a través del LibreOffice Basic, con el siguiente código.

function macl(a,b)
e2=1-(b/a)^2
El=1
n=1
d=2
r=(n/d)^2*e2
do
El=El-r
r1=r
n=n+2
d=d+2
r=r1*(n/d)^2*e2*(n-2)/n
loop while r1<>r
macl=2*PI()*a*El
End function

function gausskum(a,b)
h=(a-b)/(a+b)
t=0.5*h
p=1+t*t
u=1
do
t=t*u/(u+3)*h
p1=p
p=p+t*t
u=u+2
loop while p1<>p
gausskum=PI()*(a+b)*p
End function

Se van sumando términos de la serie hasta alcanzar la precisión máxima. El límite viene impuesto por el sistema de coma flotante de doble precisión, 15 cifras decimales si la parte entera es cero y 14 en caso contrario.

Es interesante ver el número de términos sumados hasta alcanzar la precisión máxima, lo cual dependerá de los valores de a y b. La siguiente tabla resume los resultados y se observan diferencias en el perímetro para valores de b <0.10.

a	b	Gauss-Kummer		Maclaurin
a	b	Perímetro	Términos sumados	Perímetro	Términos sumados
1	0.99	6.25180884795037	3	6.25180884795037	7
1	0.90	5.97316043252483	6	5.97316043252483	16
1	0.60	5.10539977267963	10	5.10539977267963	60
1	0.10	4.06397418010090	56	4.06397418010092	2025
1	0.01	4.00109832972265	405	4.00109832972471	121723

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Perímetro de una elipse

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9 pensamientos en “Perímetro de una elipse”

Julián Oter
27 diciembre, 2019 a las 6:39 pm
Enlace permanente
Es un trabajo excelente. Felicito al autor y a quien ha hecho posible su difusión.
Responder
- AdministradorAutor
  27 diciembre, 2019 a las 8:09 pm
  Enlace permanente
  Nos alegramos de que te haya gustado y si te ha sido útil mucho mejor
  Responder
Fernando Angulo
26 septiembre, 2020 a las 7:34 pm
Enlace permanente
Saludos, Muy buen trabajo, Me gusto muchisimo, La ecuacion (16) es perfecta para calcular la longitud del arco entre 0 y Pi/2, . . Ahora, me permito preguntarles: Que pasa si lo que deseo es calcular la longitud de un arco entre dos angulo dados?, es decir una seccion de arco advitraria, por ejemplo entre los angulos Tita1 y Tita2, . . . Me imagino que habria que replantearlo todo desde la ecuacion (6) e integrar desde Tita1 hasta Tita 2, (en vez de 0 a Pi/2). Es posible que ustedes publiquen una extension de este trabajo con la solucion que les he planteado en este mensaje. Quedo atento a su respuesta, De antemano, Gracias por su atencion, su tiempo, su esfuerzo y su pronta respuesta,
Atte, Fernando Angulo,
Responder
- AdministradorAutor
  27 septiembre, 2020 a las 3:11 pm
  Enlace permanente
  Gracias Fernando. Nos alegramos de que le haya gustado. La repuesta a su pregunta tendrá que esperar un poco, por lo menos hasta que contemos con un rato de tiempo seguido. Efectivamente habría que partir de (6). Le animo a que lo haga usted mientras. Un saludo.
  Responder
José Domingo Abella Moyano
30 septiembre, 2021 a las 1:35 pm
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Excelente trabajo. Podrían afirmar ustedes que las dos primeras cifras decimales son exactas?. De cada uno de los problemas. Gracias de antemano por su respuesta.
Responder
José Domingo Abella Moyano
30 septiembre, 2021 a las 1:40 pm
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Ejemplo :. En el último problema, a mi me da en lugar de 1 en las milésimas , me da 6.
Responder
- AdministradorAutor
  30 septiembre, 2021 a las 4:43 pm
  Enlace permanente
  Hola José. Si te interesa puedes mirar aquí y comparar un poco los resultados con la información que te da esta página y calcular algunos valores de la integral elíptica completa de segunda especie con la función EllipticE(c^2/a^2). He probado con a = 1 y b =0.01 y aquí tienes la foto del resultado. Me alegro que te haya gustado, un saludo.
  Responder
Rafael
18 febrero, 2022 a las 9:22 am
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Excelente trabajo el que has expuesto.
Me gustaría comentar que, salvo error por mi parte, la ecuación 8 donde se utiliza el teorema del binomio, éste se podría generalizar de una forma más adecuada utilizando el doble factorial para (2k-3). Como (2k-3) es impar entonces:
(2k-3)!!=(2k-2)!/(k-1)! * 2^(k-1)
Responder
- AdministradorAutor
  20 febrero, 2022 a las 6:09 pm
  Enlace permanente
  Gracias por tu comentario Rafael.Sí, tienes razón, pero esto ya queda a gusto de cada uno y como le resulte más cómodo trabajar.
  Responder

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Juan Carlos

6. Abril, 2022.

Un profesor de 10!! Tanto online como presencialmente me ha ayudado a superar todo lo que me he propuesto, muchas gracias!

Alberto Aguedo

26. Julio, 2021.

Gran profesor, siempre con mucha disponibilidad. 100% recomendable para preparar la oposición para Suboficiales del Ejercito que era lo que en mi caso necesitaba.

Javi Es

Mi experiencia es de matemáticas y física de 2° de bachillerato, Buen profesor y te resuelve las dudas sin problema.

carmen pons pieras

14. Mayo, 2021.

¡¡¡Excelente profesor y persona!!! Se compromete al 100% con el alumno y gracias a eso me ha ayudado a entrar en medicina en Navarra!! Me ha ayudado muchísimo con química y física. ¡Un 10 de profesor!

Pablo Gómez

25. Agosto, 2020.

Un gusto trabajar con Jaime, comprometido con nuestros estudios, nos preparó para una oposición y los 3 que los nos presentamos hemos obtenido plaza. Tanto presencial como online, sus clases se han adaptado perfectamente a nuestras necesidades, siempre atento y dispuesto a ayudar. Una inversión segura en tu futuro.

Carlos Belmonte

14. Agosto, 2020.

Excelente profesor y persona! Nos ha ayudado a superar la oposición de ascenso a Suboficial del Ejército con matemáticas y física y se curra mucho las clases y siempre que tienes dudas saca un hueco para responderlas.100% recomendable !!!

Luis Suarez

24. Julio, 2020.

Jaime ha sido un gran profesor en todos los niveles. Se nota que se curra las clases y se preocupa por sus alumnos. Podemos decir que gracias a él la asignatura de química de 2o de bachiller ha sido un paseo, todo un experto. Nos ha preparado para conseguir la excelencia tanto de bachillerato como de selectividad. No solo en química nos ha ayudado, sino que también en matemáticas y en física donde nos ha dado pequeños empujones muy necesarios. No hay excusa para sacar notazas con Jaime...

Pablo Pallarés

16. Julio, 2020.

Academia 100% recomendable debido al excelente profesor. Gracias a sus clases he podido superar con éxito segundo de bachillerato y sacar un 8 de matemáticas en selectividad. Además cuenta con un magnifico sistema de clases online con el que puedes seguir aprendiendo desde cualquier sitio.

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